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絶対値・累乗・平方根

符号を取る、何度も掛ける、2乗するとその数になる値を求める。

四則演算の次によく使う三つの計算です。
下の例は二つの点の座標を読み、横と縦に何マス離れているかを表示し、二点の間の距離を小数第2位まで表示し、その距離を超えない最大の整数を表示します。

p = コンソール.数読み();x1 = p[0];y1 = p[1];x2 = p[2];y2 = p[3]; dx = 数学.絶対値(x2 - x1); // 3dy = 数学.絶対値(y2 - y1); // 1 - 7 = -6 → 6コンソール.書く(dx + " " + dy); d2 = dx * dx + dy * dy; // 거듭제곱 함수가 없어서 곱해요dist = 数学.平方根(d2); // 6.708203932コンソール.書く(文字.桁そろえ(dist, 2)); // 정수 제곱근: r * r <= d2인 가장 큰 정수r = 数学.切り下げ(dist);間 (r * r > d2){    r--;}間 ((r + 1) * (r + 1) <= d2){    r++;}コンソール.書く(r);
stdin
2 7 5 1
stdout
3 6
6.71
6

ポイント

  • 絶対値は符号を取った大きさです。
    二つの値がどれだけ離れているかを求めるときに使います。
    どちらが大きいか分からなくても abs(a - b) で求まります。
    1 - 7 は -6 ですが、離れているマス数は 6 です。
  • 累乗は同じ数を何度も掛ける計算です。
    Python と JavaScript には ** 演算子があり、ほかの言語は pow 関数を使います。
    ^ はどの言語でも累乗ではありません。
  • 累乗の結果が整数か小数かは言語によって違います。
    Python の 2 ** 10 は整数の 1024 です。
    Java・C#・C・C++ の pow は整数を渡しても小数(double)を返すので、整数の変数に入れるには変換が必要です。
    2乗は x * x と書けば整数のままで、もっと簡単です。
  • 平方根は2乗するとその数になる値です。
    sqrt はいつも小数を返します。
    45 の平方根は 6.708203932499369 で、割り切れる 25 も Python と Java では 5.0 と表示されます。
  • 整数の平方根は r * r <= n となる最大の整数 r です。
    sqrt の結果の小数を切り捨ててから、掛け直して合わせます。
    例の while の2行がその確認です。
  • 負の数の平方根は数になりません。
    Python は ValueError で止まり、ほかの言語は NaN(数ではない)を返してそのまま進みます。

言語ごとの書き方

Pythonabs(x)、x ** 2、math.sqrt(x)(import math)。
整数の平方根は math.isqrt(n) でそのまま求まります。
2 64 も正確な整数で、2 -1 は 0.5 です。
-2 2 は -4 なので (-2) 2 と書きます
JavaScriptMath.abs(x)、x ** 2(または Math.pow(x, 2))、Math.sqrt(x)、切り捨ては Math.floor(...)。
-2 2 は SyntaxError なので (-2) 2 と書きます
TypeScriptJavaScript と同じです。
結果はすべて number です
JavaMath.abs(x)、Math.pow(x, 2)、Math.sqrt(x)。
Math.pow(2, 10) は 1024.0 です。
int p = Math.pow(2, 10); はコンパイルエラーなので (int) Math.pow(2, 10) と変換します
C#Math.Abs(x)、Math.Pow(x, 2)、Math.Sqrt(x)。
Math.Pow は double なので int p = Math.Pow(2, 10); はエラー CS0266 です。
(int)Math.Pow(2, 10) と変換します
C++<cmath> の std::abs(x)、std::pow(x, 2)、std::sqrt(x)。
std::pow は double なので std::cout << std::pow(10, 6) は 1e+06 と表示されます。
整数で表示するには (long long) で変換します
C整数の絶対値は <stdlib.h> の abs(x)、小数の絶対値は <math.h> の fabs(x)。
pow(x, 2) と sqrt(x) も <math.h> にあり、double を返します
Craykon数学.絶対値(x)、数学.平方根(x)、切り捨ては 数学.切り下げ(...)。
累乗は演算子も関数もないので x * x のように掛けます。
2 ^ 10 と 2 ** 10 はコンパイルエラーです

よくある間違い

sqrt を切り捨てた値を整数の平方根だと信じた

const x = 9007199136250224; // 94906265 * 94906265 - 1
console.log(Math.floor(Math.sqrt(x)));

→ 94906265 — しかし 94906265 の2乗は x より 1 大きいです。正しい答えは 94906264 です。大きな数では sqrt の結果が丸められて、ちょうど 94906265 になります。8言語すべてが同じ値を出します

切り捨ててから掛けて確かめます:while (r * r > x) r--; を付けると 94906264 になります。
Python は math.isqrt(x) が正確な答えを返します。

^ で累乗しようとしたPython · JavaScript · TypeScript · Java · C# · C · C++

System.out.println(2 ^ 10);

→ 8 — 1024 ではありません。^ は二つの数のビットを比べる別の演算(XOR)です。エラーは出ず、見当違いの数が出ます

Python と JavaScript は 2 ** 10、ほかは pow 関数を使います(Java は (int) Math.pow(2, 10))。
Craykon は ^ をコンパイルエラーで知らせてくれます。

小数に整数用の abs を使ったC · C++

double d = -2.7;
printf("%d\n", abs(d));

→ 2 — 2.7 ではありません。<stdlib.h> の abs は整数用なので、先に小数部分が捨てられます。C++ でも std:: なしで abs(d) と書くと 2 になりました

C は fabs(d)、C++ は std::abs(d) を使います。
どちらも 2.7 です。

言語ごとの違い
答えが整数でなければならない問題では、できるだけ整数の中で計算します。
距離が r 以下かをたずねるときは sqrt を使わず、dx * dx + dy * dy <= r * r のように2乗どうしを比べれば、小数が入り込みません。
平方根が本当に必要なときだけ sqrt を使い、整数に変換したあとは一度掛けて確かめます。
累乗も同じです。
pow は小数で計算するので、とても大きな数では下の桁が狂います。
3 を 34 回掛けると 16677181699666569 ですが、Java の (long) Math.pow(3, 34) は 16677181699666568 を返します。
Java・C#・C・C++ で大きな整数の累乗が必要なら、long(long long)の変数に一つずつ掛けていきます。

練習問題